4096 কে  $2\sqrt{2}$ এর সূচকে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত রাশিটি হলো \(4096\)।

প্রদত্ত ভিত্তিটি হলো \(2\sqrt{2}\)।

প্রথমে, ভিত্তি \(2\sqrt{2}\) কে \(2\) এর সূচকে প্রকাশ করি:

\(2\sqrt{2} = 2^1 \times 2^{\frac{1}{2}}\)

\(= 2^{1 + \frac{1}{2}}\)

\(= 2^{\frac{2+1}{2}}\)

\(= 2^{\frac{3}{2}}\)

এখন, \(4096\) কে \(2\) এর সূচকে প্রকাশ করি:

\(4096 = 2 \times 2048\)

\(= 2 \times 2 \times 1024\)

\(= 2 \times 2 \times 2 \times 512\)

\(= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 256\)

\(= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 128\)

\(= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 64\)

\(= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 32\)

\(= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 16\)

\(= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 8\)

\(= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 4\)

\(= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2\)

\(= 2^{12}\)

ধরি, \(4096 = (2\sqrt{2})^x\)

এখন, উভয় পক্ষকে \(2\) এর সূচকে প্রকাশ করে পাই:

\(2^{12} = (2^{\frac{3}{2}})^x\)

\(2^{12} = 2^{\frac{3x}{2}}\)

উভয় পাশের ভিত্তি একই (\(2\)), তাই আমরা সূচকগুলোকে সমান করতে পারি:

\(12 = \frac{3x}{2}\)

\(12 \times 2 = 3x\)

\(24 = 3x\)

\(x = \frac{24}{3}\)

\(x = 8\)

অতএব, \(4096 = (2\sqrt{2})^8\)

সঠিক বিকল্পটি হলো \( (2\sqrt{2})^8 \)।